一階線性微分方程 - 數(shù)學(xué)術(shù)語
形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程,Q - x稱為自由項(xiàng)。
當(dāng)Q - x≡0時,方程為y'+P - xy=0,這時稱方程為一階齊次線性微分方程。 - 因?yàn)閥'是關(guān)于y及其各階導(dǎo)數(shù)的1次的,P - xy是一次項(xiàng),它們同時又是關(guān)于x及其各階導(dǎo)數(shù)的0次項(xiàng),所以為齊次。
形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程,Q - x稱為自由項(xiàng)。一階,指的是方程中關(guān)于Y的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)。線性,指的是方程簡化后的每一項(xiàng)關(guān)于y、y'的指數(shù)為1。

定義
形如(記為式1)的方程稱為一階線性微分方程。其特點(diǎn)是它關(guān)于未知函數(shù)y及其一階導(dǎo)數(shù)是一次方程。這里假設(shè),是x的連續(xù)函數(shù)。
若,式1變?yōu)椋ㄓ洖槭?)稱為一階齊次線性方程。
如果不恒為0,式1稱為一階非齊次線性方程,式2也稱為對應(yīng)于式1的齊次線性方程。
式2是變量分離方程,它的通解為,這里C是任意常數(shù)。
解法
一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法,通過常數(shù)變易法,可求出一階線性微分方程的通解。
一階齊次線性微分方程
對于一階齊次線性微分方程:
其通解形式為:
其中C為常數(shù),由函數(shù)的初始條件決定
一階非齊次線性微分方程
對于一階非齊次線性微分方程:
其對應(yīng)齊次方程:
解為:
令C=u - x,得:
帶入原方程得:
對u' - x積分得u - x并帶入得其通解形式為:
其中C為常數(shù),由函數(shù)的初始條件決定。
注意到,上式右端第一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次線性方程式(式2)的通解,第二項(xiàng)是非齊次線性方程式(式1)的一個特解。由此可知,一階非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。
